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1) 32 2. 2) (b) kaufmännischer Verzinsung: k−1 ¨ d B, B¨ (k) = 1 − 2k k−1 i B. 4) Beweis. Die k-tel-jährliche vorschüssige Zahlung des Betrages 1 im ν-ten Vertragsjahr hat bei zusammengesetzter Verzinsung den Barwert (k) ¨1 ν−1| a = v ν−1 k k−1 v j/k = j =0 v ν−1 1 − v d = v ν−1 (k) . 1). Die anderen Beziehungen werden ähnlich bewiesen. 18 Folgerung. Barwerte k-tel-jährlich nk-mal vor- bzw. 2) (b) kaufmännischer Verzinsung: (k) k−1 k−1 1 − vn d · a¨ n = − (1 − v n ) , 2k 1−v 2k 1 − vn k−1 k−1 i · a n = −1 (1 − v n ) .

31 erinnert von der Aussage und von der Beweismethode her etwas an den wohlbekannten Darstellungssatz von Riesz, demzufolge ein positives lineares Funktional auf den stetigen reellen Funktionen mit kompaktem Träger als Integral bezüglich eines Borelmaßes aufgefaßt werden kann. Für den Beweis benötigen wir mehrere Hilfssätze. 32 Hilfssatz. Seien G: [0, ∞) −→ [0, ∞) rechtsseitig stetig und monoton nichtwachsend und (Zn )n∈N ⊂ Zg monoton nichtfallend mit Z := n∈N Zn ∈ Zg . Dann gilt G dZn = lim n→∞ G dZ.

M. Zukünftig werden Sparraten P > 0 fällig zu Zeitpunkten ν, . . , m − 1. Dies ist eine um ν Jahre aufgeschobene jährlich vorschüssig zahlbare Zeitrente der Dauer m−ν. 1) D Das Äquivalenzprinzip am Beispiel von Sparplänen 47 ist das prospektive Deckungskapital daher tV a¨ m−ν a¨ m 1 − vν 1 − vm = r t S v m − P ν| a¨ m−ν = S v m−t 1 − v ν = S v m−t 1 − v ν 1 − v m−ν 1 − vm = S v m−t und damit tV = S v m−t 1 − v [t−0]+1 · 1(0,m] (t) . 40 Beispiel. Zeitrentenplan bei kontinuierlicher zusammengesetzter Verzinsung (K = KZ ): Die Bank verpflichtet sich zum Beispiel zur Zahlung einer um m Jahre aufgeschobenen n-mal jährlich vorschüssig zahlbaren Zeitrente der Höhe R > 0: m+n−1 ZL = R · 1[j,∞) .