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By Dieter Klaua

Der vorliegende zweite Teil IIIJ2 von Band III "Kardi­ nal-und Ordinalzahlen" des Buches "Einführung in die Allgemeine Mengenlehre" ist die unmittelbare castle­ setzung des ersten Teiles IIIJ1, der damit für das Ver­ ständnis von IIIJ2 edorderlich ist und dessen Vorwort den gesamten Band III einbezieht. Berlin, Februar 1974 D.KLAUA Inhaltsverzeichnis KAPITEL II Kardinal-und Ordinalzahlen § 7. Kardinalzahlen und ihre Wohlordnung . nine 1. Vorbemerkungen . . . nine 2. Der Kardinalzahlbegriff 10 three. Anordnung. . . . . . 14 four. Nachfolger, Suprema 27 five. Endliche, unendliche Kardinalzahlen. 29 31 6. Zusammenfassung der Begriffe § eight. Arithmetik der Kardinalzahlen 32 1. Summe ..... . 32 2. Allgemeine Summe . 36 three. Produkt ..... . 38 four. Allgemeines Produkt. forty five. Potenz ...... . forty two 6. Elementare Rechengesetze forty six 7. Satz von HESSENBERG . fifty three eight. Satz von KÖNIG 60 nine. Anwendungen ..... sixty four 10. Zusammenfassung der Begriffe seventy five § nine. Ordinalzahlen und ihre Wohlordnung seventy five 1. Der Ordinalzahlbegriff . seventy five 2. Anordnung. . . . . . . . . . . seventy nine three. Nachfolger, Suprema . . . . . . 89 four. Endliche, unendliche Ordinalzahlen ninety one five. Transfinite Folgen . . . . . ninety three 6. KonfinaJität . . . . . . . . ninety seven 7. Zusammenfassung der Begriffe ninety nine Inhaltsverzeichnis 6 § 10. Zahlklassen one zero one 1. Zahlklassen . . . . . a hundred and one 2. Alephs, Anfangszahlen 104 three. Konfinalität . . . . . one hundred ten four. Alephformeln . . . . one hundred fifteen five. Zusammenfassung der Begriffe 122 § eleven. Arithmetik der Ordinalzahlen 122 1. Summe ..... . 122 2. Allgemeine Summe . 129 136 three. Produkt ..... . four. Allgemeines Produkt 142 five. Potenz ..... . 152 a hundred and fifty five 6. Elementare Rechengesetze .

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Ist (ai)iEl eine Kardinalzahlfamilie und (Ai)iEl eine zugehörige Repräsentantenfamilie mit also ai cardA; = für alle i E I, so heißt die Kardinalzahl card X Ai iE! > bezeichnet mit: [J ai' Die ai (für i E I) heißen die Faktoren von [J ai'. iEI iEI Satz 4. ' zugehörige Repräsentantenfamilien (Ai)iEl und Objekte j gilt: a) [J ai iEI (Ai)iEI eineindeutig -+ [Jai iE! (Ai)iEl disjunkt -+ [J ai iE! b) I = 1= cD -+ (iJ = card XA i , iEI = card X (AdiEl' = card X (AdiEI = card (X I X A uswahl- menge von (Adia), n ai = 1 , iE!

A) Für Kardinalzahlen a, b gilt: A b = 0, a· b = 0 -- a = 0 v b = 0, er·b=1--a=1Ab=1, a -I- b = 0 -- a = 0 er, b ~ a + b, -+ a, b a . b =F 0 ~ 0 . b. b) Für Kardinalzahlfamilien (ai)iEI und Objekte j gilt: }; ai iEl = 0 -- Vi(i E 1-+ ai II ai = 0 -- ]i(i E I A = ai = iEl [ ] ai = 1 -- Vi(i E I -+ ai j EI -+ aj ~ }; ai, iEl = 0), 0), 1), iE! j EI A [] iEI ai =F 0 -+ aj ~ [ ] ai. iEl c) Für Kardinalzahlfamilien (Oi)iEl und Mengen J c l mit a; = 0 für alle i EI" J bzw. ' ai bzw. [] Oi = [] 0i· iEI iEJ iE!

EP kEK (Man kann I k =1= Cf) für alle k E I voraussetzen; denn ist ein I k = Cf), so auch P = Cf) , und heide Seiten sind trivial O. li für (k, i) E K'. li). iEI iEl S atz 14. li)iEl und Kardinal- = II b a, , (II ai)li = II a/' . iEI lEI iEI Beweis. Satz 16d), c), Bd. II, § 5. I 7. Satz von HESSENBERG. Der folgende Satz ist charakteristisch für das Rechnen mit unendlichen Mächtigkeiten 54 § 8. Arithmetik der Kardinalzahlen und hat auf die Arithmetik der Kardinalzahlen entscheidenden Einfluß. Satz 15 (Satz von HESSENBERG).

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