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By David Sang

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Ordnung 45 p p x+ − x0 4aα2 2 j + 2αap − 2α j=1 aj (x+ ) x+ − x0 j ≤0. j=1 Nun sind zwei F¨ alle denkbar. Entweder geht p j=1 2 (x+ − x0 )j → 0 mit α → ∞, oder es gibt > 0 und eine Folge αn → ∞, so daß Im ersten Fall sch¨ atzen wir weiter ab: p j=1 2 (x+ − x0 )j ≥ . p aj (x+ ) x+ − x0 pa − j ≤0. j=1 Da aufgrund der Beschr¨ anktheit der aj auf der in Ω kompakt enthaltep + + nen Menge U auch j=1 aj (x ) (x − x0 )j gegen Null geht, resultiert mit α → ∞ der Widerspruch pa ≤ 0. Im anderen Fall ist 4aαn2 + 2paαn − p 2αn j=1 aj (x+ ) (x+ − x0 )j ≤ 0, und da die letzte Summe beschr¨ankt bleibt + f¨ ur x ∈ U , folgt mit αn → ∞ auch diesmal ein Widerspruch.

Auch die Analytizit¨ at harmonischer Funktionen bequem zu beweisen. Ein derartiger Zugang zur Mittelwerteigenschaft und zu den u ¨brigen lokalen Eigenschaften harmonischer Funktionen muß sich aber den Einwand 3 Hingegen benutzte Harnack [96], auch in Leipzig, harmonisch etwas enger als in obiger Definition. Jules Riemann [285] definiert harmonisch wie oben. Man vgl. auch die Bemerkung auf S. 300. 1 Harmonische Funktionen und Mittelwerteigenschaft 21 gefallen lassen, daß er innere Eigenschaften erst u ¨ber die L¨osung eines Randwertproblems (Poissonintegral) zug¨ anglich macht.

297). 9 gesehen haben. 3 Das Maximum-Minimumprinzip Eine Minimumstelle der Funktion u : Ω → R ist ein x0 ∈ Ω mit u(x0 ) ≤ u(x) f¨ ur alle x ∈ Ω. 1). Ein Punkt außerhalb der Masseverteilung hat demnach keine stabile Gleichgewichtslage; dies wurde unabh¨ angig von Earnshaw [57] bewiesen. Riemann [280, Art. III] leitete das Fehlen isolierter Minimumstellen f¨ ur L¨osungen der Gleichung Δu = 0 her. Man spricht vom starken Minimumprinzip f¨ ur u : Ω → R, wenn jede im Inneren von Ω gelegene Minimumstelle von u : Ω → R eine Umgebung hat, die aus lauter Minimumstellen von u besteht.

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