By Ernst Wienholtz, Hubert Kalf, Thomas Kriecherbauer
Dieses Lehrbuch bringt in einem stufenweisen Aufbau, ausgehend von der Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen, über die Perronsche Methode zur Lösung des Dirichletproblems für die Laplacegleichung und den Kelloggschen Satz über das Randverhalten von Lösungen der Poissongleichung, eine Darstellung der klassischen Theorie linearer elliptischer Differentialgleichungen 2. Ordnung. Der Zusammenhang mit schwachen Lösungen solcher Gleichungen wird hergestellt. Hervorzuheben sind zahlreiche neue und vereinfachte Beweise, so für die Symmetrie und die Abschätzung der Greenschen Funktion und ihrer Ableitungen. Der sparsame und effiziente Einsatz von Hilfsmitteln ermöglicht den Studierenden das Eindringen in dieses Gebiet bereits ab dem 2. Studienjahr. Die Beschreibung von Beweisvarianten erleichtert es dem Dozenten, für Vorlesung oder Seminar eine Auswahl zu treffen. Eine Besonderheit dieses Buches bilden die vielen historischen Bezüge und Literaturverweise, die auch dem Fachmann manches Neue bieten werden.
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Ordnung 45 p p x+ − x0 4aα2 2 j + 2αap − 2α j=1 aj (x+ ) x+ − x0 j ≤0. j=1 Nun sind zwei F¨ alle denkbar. Entweder geht p j=1 2 (x+ − x0 )j → 0 mit α → ∞, oder es gibt > 0 und eine Folge αn → ∞, so daß Im ersten Fall sch¨ atzen wir weiter ab: p j=1 2 (x+ − x0 )j ≥ . p aj (x+ ) x+ − x0 pa − j ≤0. j=1 Da aufgrund der Beschr¨ anktheit der aj auf der in Ω kompakt enthaltep + + nen Menge U auch j=1 aj (x ) (x − x0 )j gegen Null geht, resultiert mit α → ∞ der Widerspruch pa ≤ 0. Im anderen Fall ist 4aαn2 + 2paαn − p 2αn j=1 aj (x+ ) (x+ − x0 )j ≤ 0, und da die letzte Summe beschr¨ankt bleibt + f¨ ur x ∈ U , folgt mit αn → ∞ auch diesmal ein Widerspruch.
Auch die Analytizit¨ at harmonischer Funktionen bequem zu beweisen. Ein derartiger Zugang zur Mittelwerteigenschaft und zu den u ¨brigen lokalen Eigenschaften harmonischer Funktionen muß sich aber den Einwand 3 Hingegen benutzte Harnack [96], auch in Leipzig, harmonisch etwas enger als in obiger Definition. Jules Riemann [285] definiert harmonisch wie oben. Man vgl. auch die Bemerkung auf S. 300. 1 Harmonische Funktionen und Mittelwerteigenschaft 21 gefallen lassen, daß er innere Eigenschaften erst u ¨ber die L¨osung eines Randwertproblems (Poissonintegral) zug¨ anglich macht.
297). 9 gesehen haben. 3 Das Maximum-Minimumprinzip Eine Minimumstelle der Funktion u : Ω → R ist ein x0 ∈ Ω mit u(x0 ) ≤ u(x) f¨ ur alle x ∈ Ω. 1). Ein Punkt außerhalb der Masseverteilung hat demnach keine stabile Gleichgewichtslage; dies wurde unabh¨ angig von Earnshaw [57] bewiesen. Riemann [280, Art. III] leitete das Fehlen isolierter Minimumstellen f¨ ur L¨osungen der Gleichung Δu = 0 her. Man spricht vom starken Minimumprinzip f¨ ur u : Ω → R, wenn jede im Inneren von Ω gelegene Minimumstelle von u : Ω → R eine Umgebung hat, die aus lauter Minimumstellen von u besteht.